18rg折1D在△ABC中.由aA是件.snA-2…3分当a≤0时，g(x)<0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递减：3分当a>0时，由g)<0得z(0,）由gm>0得工（十四）4分@由a将mc-9,m4-9于是g在(0，宏)上单绸是流在（合+四）上单清造增6分△AC中由区发面C变…8分（2)当a<0时，由（1知，画数g()至多有1个零点，即画数至多有1个极值点，不合题意，…6分..9分故必有>0且8（）0，中-1+h2a<0.解得0<号7分解得a=5.…此时g(）-2>0g(）2g-10.%8分t△ABc的面积为S=asin B=号X5X8x写-10w5,……12分2分【U结合>和点存在理，的大值点∈（信）9分19.【解析J(I)取BD的中.点P,连接MP,NP.3分图为MN分别是AD、BC的中点，所以MP∥AB,NP∥CD.由g(x)=0=am=1+21n五，于是M=f)=-2ln.……10分4分又因为AB⊥BC,BC⊥CD,所以BC⊥MP,BC⊥NP.…5分个h(=n(位<×)则)=1+hx<0,所以画数()在（信）上单调递或：排国西得同]日从而BCL平面MNP.叉MNC平面MNP,所以MN_LBC…于是有-是0)的焦点F(号，0)，联立双曲线方程消y得：22-3px+6=0出年夫【时】己(2)由题意可知，不等式f(x)≤|2x十1川在x∈[1,2]上恒成立当x∈[1,2]时，不等式f(x)≤2x十1可化为x-m≤2，即-20所以x-2≤m≤x十2在x∈[1,2]上恒成立.设A(田n),B(n),双曲线与抛物线在第一象限有两个公共点，则五十=号>0，,界分修由【体碱】又当x∈[1,2]时，(x-2)=0,(x+2)mm=3,………心9分故所求m的取值范围是[0,3].………10分(x1x2=3>0,部得P>5,(七)易知△FAB的重心为G(3,”吉2），…7分一、选择题题号123456789101112因为n+=V2p函+V√2pa=√(/2p+2p了=√3r+4W3p,强塔减，三答案DBADC BC C ADBA则G,3+4B2)9分1.D【解析】由=1-2i可知，z=1+2i,所以zi=(1十2)i=-2+i,故选D.不梦量G0好在双台线的斯延线2一y0上，用2X号同X号1面0-0。2.B【解析】因为A=(zx<-3,或x>5),所以CA={x-34,则p=25，1分8A【解桥]由条件与正孩定理得6=2x=4,由余孩定理得，oB装专}，故选入学人2×3X2t存在纷线y=24,此时△FAB的重心G拾好在双曲线的渐近线上.12分4D【解析】解法一：在平行四边形ABCD中，DB=A店-AD,-,>，>甲，>图2L.【得折0D由题得g)=∫(=2a-h工-2(>0.1分E为BD上的-点，且BD=4ED,所以DE=D成=(A站-AD),6=2-24>0.所以A龙=AD+D克=A市+A范-Ad)=}A+A心，故选D.0,l,是4十，0)4x…2分解法二：连接AC,ACnBD=O,文科数学参考答案-20文科数学参考答案-21

令g'(x)<0,得x>1,令g'(x)>0,得0ln(.x+1).(7分)由(1)得e≥x十1，所以e-1≥(x-1)+1=x(当且仅当x=1时取等号)①.(8分)由(2)得lnx≤x-1,所以ln(x+1)≤(x+1)-1=x(当且仅当x=0时取等号)②.(9分)因为①式与②式取等号的条件不同，所以e-1>ln(x+1).(10分)18.(12分)已知关于x的函数f(x)=ax-lnx-(1+ln2).(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当n∈N时，ln(1×2×3X…Xn)0.(1分)当a≤0时，f'(x)<0,则f(x)在区间(0，十∞)上单调递减：(2分)当a>0时，f'(x)=Qz-1_9(-i)(3分)x所以当x>。时，f'(x)>0,f(x)在区间（后，+∞）上单调递增，a当0<<日时，fx)<0,f)在区问(0，日）上单调递减.(5分)综上，当a≤0时，f(x)在区间(0，+∞)上单调递减：当a>0时，f(x)在区间（日，+∞）上单调运增，在区间(0，日)上单调递减.(6分)(2)证明：由(1)知当a=2时，f(x)在区间(0,2）上单调递减，在区间(2，十∞）上单调递增，(7分)所以fx)≥f(）=0,即1nx≤2x-1-1n2x>0),当且仅当x=号时取等号，(9分)所以ln1<2-1-ln2=1-ln2,ln2<4-1-ln2=3-ln2,ln3<6-1-ln2=5-ln2,…yIn n<2n-1-In 2,(11分)以上各式相加得ln1+ln2+ln3+…+lnn<[1+3+5+…+(2n-1)]-nln2,即ln(1X2×3X…×n)

11.C【解析】设每人分到的钱数构成的等差数列为1a.,公是d>0,由题意可得，a,+a:十a=a十as,S=5,故3a1十3d=2每7a.5a+5-5,解，am-号，d-合，t任意两人所得的最大是值为a-a=4d=号.放进C-o2+号m2:2w2+l-马m2r-on2r1a23j10-4-1-心最小正周物：T=元6分）12B【解析】题作因，如因1，并将其补成正方体，如困2.对于A,图为AC/AG,AGC平面ABD,所以AC∥平面ABD,故A不正确，2e[-骨m]则2红-晋∈[-吾2m-]对时于B,当D为CB的中点，CD与CB,重合，根据正方体的性质可得CDLAC,故B正确；对于C,列断以AC为直径的球与CB的文点情况，在[子上大方22音号，度心清-香2位B【折)因为MB/NC,MBt牛面DNC.NC年面DC.本因3RACP点R,因RG=FB=9,所以MB∥平面DNC又图为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.当FDLBG时，FD=√FB-(2CB)->2AC又MAt平面DNC,DNC平面DNC,所以以AC为直径的球与CB没有交点，所以∠ADC<受，故C错所以MA∥平面DNC,又MANMB=-M,且MA.MBC平面AMB,对于D,将面CBC新至与平面ABC共面，此时点C与E重合，所以AD叶DC的最小值为AE,尽，故D不正.所以平面AMB∥平面DNC故送B(2)因为四边形AMND是矩形，所以AMLMN.盒冠因为牛面AMND面MBCN,且平西AMNDn-平西MBCN=MN,,ANt.0

QGQG本报编委会编委会主任陈彩云编委会副主任肖俊南吴子期蔡卫红编委吴文怡泰“酱周林波第13期参考答案题组训练1.C2.B33-l+n(n+1)624l552022“1640456.(1)a.=2n-1:(2)S=11n(n+1),g=1+21-9.g20且7≠11-q7(1)a,=A2;4(2),3n42m438.(1)略；(2)S,=n+49.(1n,=2;(2)b.=2nx2-=nx2°，T=1×2+2×2+3×2+…+nx2"①，2T,=1×22+2x23+3x2+tnx2'②，由①-②得-T,2+2+2+…+2°-nx2,即-T2(2-1)-nx2",所以7，2-1=(n-1)x2+2.10.解：(1)设数列a}的公比为g,因为a2=4,所以a4=4g,a,=4g。·因为a+2是a,和a4的等差中项，所以2(a+2)a2+a4,即2(4g+2)=4+4g,化简得g2-2g=-0.因为公比q≠0，所以9=2.所以0,0，g2=4x2=2'(neN).(2)因为a,=2°，所以b=2log2a-1=2n-1,所以a,b=(2n-r2”,则T.=l×2+3x2°+5x2++(2m-3)2+(2n-120,2T,=1x2+3x2+5x2++(2n-32+2in-1)2"②由①-②得，-了=2+2x2+2x2'+…+2x2-(2m-【下转(B)第2,3版中缝】

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5、2024年普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测试卷(一)文数(XKB)答案

18rg折1D在△ABC中.由aA是件.snA-2…3分当a≤0时，g(x)<0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递减：3分当a>0时，由g)<0得z(0,）由gm>0得工（十四）4分@由a将mc-9

含一5e16aHL+15-错4akD-neA1@S得年wh+专he-am阳/r-2+ar>2,a+2.-号<<2…6分e+/号x-）-0得…语+g-xk,e2(2)fx)=lx-2+12x+a1w=4,-b1)-2,k,k∈z-3r-a+2,r≤-号山四区向（受得）半满得经-晋：6在同一平面直角坐标系中，画出y=x)与y=的大政图泉其中A(2,4十a)..9分又pl<登所以w=2甲晋所以画数G的国象头子点（臣0）对称。2a<4+a解得a<3,化>ar位成主，由图象可如，3，画数：)-加(2z+晋)满足在区间（受，）单锅递减…10分又a>0,所以02x-3x,其中>0，(+=)f(x)-aln(x+l).g(z)=22-3z2,则g()=6x-6x=6x(x-1).一、选择恩题号12345678910112令g'(x)>0,答案BC A C A C ABD A CC得x>1或<0g()<0,得0<<1，2Cm折A=1-3,-2,-1,0.1,2.3,B=10g(x)至多有一个整数解4.C【解析】如困所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF,由题意得：AB=2文=20尺，圆周长BE当a>0时，3尺，则葛藤饶圃柱7周后长为BD=√AB+(7BE)=,√20+2正=29尺x)>g(x)在区问(0，+∞)内的解集中有且第4题图5.A【解析】绘制不等式组表示的可行城如图所示，仅有三个基数，只需/3)>g(3),1f(4)≤g(4),结合目标函数的几何意义可得目标画数z=2x十y在点B处取得最大值，3中m2议4品s器中（号）22C【解析】假设存在常数c,对于任意1∈[而，10]，存在唯一∈[而，10]，-4-3-2使得3-，中4=10，则g则=2x号+号=5姑合性成立的条件可知>≥5，即实数a的取值范国是[5，十∞).故选A-3【范】Stse,w时e[品]又e[而.1w.6C懈折IAa=-1,6=1,满足<分但<，A错，-5HB0=16=-2,满灵号>9但2>B错nie-610从而102-=100V10,即102=102Cln>hr→a>r→la>bl→2l1>211,C正项；-8Dtam>am号，但音<，D储，c=故选C7.A【解析F(1,0),设直线1的方程为y=k(z-1),点A(红，y),B(x,次)，线段AB的中点M(x,为)，第5题图二、填空题由释-(+0+-0a+-218035a10又国为#B的中点M到把物战的准线的距高为5，片以西士产+1-5，从及【行等数别中会-=X言，则2土=8，=号，k=故选A8B【解析】对于选项A,a∥b,b∥c且b≠0，则a∥c,即选项A正确，:g=3m+1对于选项B,a·b=b·c,则(a-c)·b=0,a=c或(a-c)⊥b,即选项B错误。n+3,对于选项C,a十b=a-b,则a·b=0,则a⊥b,即选项C正确；对于选项D,若日=合，则a与b同向共线，则a∥b,即选项D正确.【照9D【解折]时于A,2020年12月至2021年12月，全四居民消费价格环比的最大值为1.0%，最小值为-0.5%，2020年12月至1555【解折1在△ABC中，AB=AC=2,msA=,则BC=+2-2X2×2×号-2，BC=反.2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5%，故A正确，在三枚维D-ABC中，AB=AC=BD=DC=2,AD=BC-2,对于B,2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格同比（单位：%从小到大依次为：-0.3，-0.2,0.2,0.4,0.7,0.8,0.9，将三校维D-ABC放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别是a,bc,三校锥D-ABC外接球的半1.0,1.1,1.3,1.5,1.5,2.3,中位数是0.9%，故B正确，径为R,如图所示：对于C,从环比看，从2021年3至6月，环比涨幅均为负值，∴全国居民消费价格一直在下降，∴这13个月中，2021年6月全国居则a2+=4,8+2=4,a2+2=2,民消费价格最低，故C正确，对于D,2021年比2020年全国居民消费价格同比增长平均值：则d++e-5,则R=名a++7-9,文科数学参考答案一44文科数学参考答案一45

理科数学卷（六）参考答案1.A由余弦定理得AB=AC+BC-2AC·BC·cosC,即13=AC+9-2ACX3Xcos120,化简得AC+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).2.C S-absin C-a2abcos C144=2 bcsC,sinC-=cosC,即tanC-1.Ce(0,m,C-=年.故选c3 Aos=-号，AC=4,BC-3AB=AC+BC-2 AC BCcs C=16+9-2X4X3X号=9，AB=3.'.cos B-AB+BC-AC9+9-1612AB·BC2X3X3914,B,作CMBB,垂足为M,作BN⊥AA',垂足为N,由题意得BM=100,∠BCM=15°，∠ABN=45°，即CM=100tan75°=B'C1所以BN=BA'=B'C'sin45°_100tan75°.2sin 75sin75°-得：系-号所以AN-N-502=502=20≈273.作CQLA4',垂足为Q,c0s75°√6-√2√3-14又AQ=AA'-CC=AN+NQ=(BB-CC)+AN=100+273=373.故选B,5Acos号-9osC=2os号-1=2×（停）-1=-号在△ABC中，由余弦定理，得AB=AC+BC-.C52AC.BC·cosC-5+1-2X5X1×(-号)=32AB=V32=42.故选A6.A:等式右边=-sin Acos C+(sin Acos C-+cos Asin C)=sin Acos C-+sin(A十C)=sin Acos C+sinB,等式左边sinB+2 sin Bcos C,`.sinB+2 sin Bcos C=sin Acos C-+sinB.由cosC>0,得sinA=2sinB.根据正弦定理，得a=2b.7.1由正弦定理得加合=只，由余弦定理得0sA=+Q,:a=4,b=5,c=6,sin C2bc2-如把A-2·急wA=2x音×-1sin Csin Csin C&器因为A,C为△ABC的内角，且osA-号sC-是，所以smA=是，mC-号，所以snB=sm(x-A-Qn(A+0=iC+Asin C=-号×是+号×指器又a=1,所以由正弦定理得6盟月-温片器×号sin Asin A 659.2,Esa-7 csin B=g。ac=√3，所以ac=4.由余弦定理，得B=a2+2-ac=3ac-ac=2ac=8,所以b=22.10227如图，易知m∠C-告，∠C=是在△B0C中，由正弦定理可得D510sin∠c=nBD-C8S-3X音-12.由∠ABC-∠ABD+∠CBD=90,可BCsin∠BDC√25456D2cos∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin∠CBD=sin[r-(∠C+∠BDC)]=sin(∠C+∠BDC)=Bsm∠Co∠BDC+o∠C,sin/BD--告×号+是×号-782101.65由余弦定理得=d+2-2ac0sB.又：6=6a=2,B=号36=4r+2-2×2r×,∴c=25,a=4BSw=asmB=号×45x25x号-65.12.-4在△ABC中，AB⊥AC,AC=1,AB=√3，所以BC=2.在△ABD中，AB⊥AD,AD=3,AB=3,所以BD=V6.在△ACE中，AC=1,AE=AD=3,∠CAE=30°，由余弦定理得CE=AC+AE°-2AC·AE·cOs∠CAE=1+3-2X1X5×号-1，所以CE=1.在△BCF中，BC=2,FC=CE=1,BF=BD=后，由余弦定理得cos∠FCB=心装骨2FC·BC13.解：(1)由正弦定理和已知条件得BC一AC-AB=AC·AB.①由余弦定理得BC=AC2+AB2-2AC·ABcos A.②由0，@得osA=-2因为0

心经典试题汇编盘=18.某大学共有15000名学生，为了了解较学生组点电灯吸，巴提避半(文科数学（三）酸袖增高外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生8金小本)中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数880.07时量：120分钟坐食消面平音量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数0.05满分：150分的系周武0.03一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个量的情况，下列估计中正确的是（注：同一组)数据用该组区间的中点值作为代表)(0.02选项中，只有一项是符合题目要求的，A.众数为101.已知集合A={0,1,2,3),B=(xlnx<1),则A∩B=大量mVOB.平均数为6.88A.{1,2}B.{1,2,3)C.中位数为6中2.已知复数之满足z(1十)=4i,则1z=C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}D.该校读书不低于8本的人数约为3600人本质白沙(A.1B.√29.函数f(x)=Asin(x+p)(o>0,p<受)的部悠的基C.2D.2√2分图象如图所示，f(x)图象与y轴交于M点，况的扌园3.等差数列{an)的前n项和为Sn,若S4=2a3十6，a4=7,则a6=(A.9B.11与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N开了C.15D.17关于点C对称，则下列说法中正确的是()如4.抛物线y=ax2(a>0)上点Mm,2)到其准线l的距离为1，则a的值为A.函数f(x)的最小正周期是2π然)B.函数f(x)的图象关于点(，0)对称B.1救A.2C.2D.4C.函数f(x)在（一2，一香）单调递减学说。5.某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有A、B、C、D、E、F共6名选芜丛D.函数f(x)的图象向右平移后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为手，其中4名男生2名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出2名选手答题，则至少有1名女同学被选中的概率是()函数都的，A号B号C.zD.10.已知a=lge,b=2.3,c=log2√3，则下列不等式正确的是D.c6>0)的离心率为号，F,F分别为精左、右焦点，A为椭圆上一个动点.直线l的方程为bz十ay一a20,记点A到直线l的距离为d,则d-|AF2的最小值为B4号+2a俯视图A.正视图侧视图D.4C.4y3b-a

吴文怡秦嵩周林波第10期《测试卷》爹考答案1.B2.A3.D4.D5.A6.A7.C8.C9.D10.C11.D12.D13.-314-115.V2+l316.V317.(1)2V5;a2u1,218(1花=5A47市：991(2)D=(4,-2),Gi=19.(1)图略，1-i、2(cos4+isin);4(2z=20(1)A=17(2)0产(2,4)，c0 sLAPB=-4V1717)21.解：(1)由0-0心=(2cos&,-sina),(0i-0心)2=7，得(2-cosa)2+sin2a=7,解得cos a=-2又0i=(0,2),0元=(cosa,sin a),设0成与0心的夹角为0，则o80=0i.0_2sinc-1oi10心2sin a=t V32因为0∈[0，m],所以g或名6所以O与0心的夹角为君段名(2)AC=(co a-2,sin a),BC=(cos a,sin a-2),由心⊥t,知m心BC=0,所以(emsa-2)cosa+sin a(sin a-2)=0,鉴理得co9a+sina三0所以(ema4aina3展开得2 ain-4【下转(A第2.3版中缝】

础和人曰袖竹人上一一20.(本小题满分12分)者两数/e-ax-+4,当x-2时，函数z)有极值一419.(本小题满分12分)如图，在四棱锥A-BCDE中，BC∥DE,BE⊥BC,AB-BC=AC2DE=2BE-AD=2.已知②若关于，的方程了)--0有-个零点，求实数大的取值范围(1)求函数的递减区间；票达其燕妇歌女明证，知诗共强大本：醒答聊，任美共数长暖S,策答封层海c民轴(=iav'-o思等代层18一「单答补来要斜脉主家，圆(1054(1)证明：平面BCDE⊥平面ABC;个00t,):了2-x+40)+别》(2)经过A,D的平面α将四棱锥A一BCDE分成的左、右两部分的体fN<0n-2

QGQGI上接(A)第1、4版中缝】为+后n号he2所以g(x)的单调递增区间为kmm+君1，ke乙。单调递减区间为(k+6+骨).keZ22解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以(x)的最小正周期T=T,则lw=2π=2又因为x)的图象关于直线=T对称，所以2×2keZ,所以p=T-开keZ。6综上2=君(2)由(1)知f(x)=V5m(a-&当re0,号1时，君≤2x-≤5m66所以当2x-T=开，即x62时=V3;当2x-=2T,即x=0时66/(w)-V39(3)由题意得g(x)=fcx)三sinte)因为g(x)图象的任意条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间(2m,3π)，所以1.2m22cm,脚0<：s分令2c-刀km+牙ke乙，62解用-贸是keZ若g(x)图象的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间(2m,3m),则2m

8.B【解析】如图，该几何体的定点E(231310'5连接CE1CE1=2→ABI的最小值直观图为长方体内的三棱锥【解析】解法一圆C的标准方程为(x-2)2+D-ABC,(在长方体中还原几何体A(y-3)2=1,.圆心C的坐标为(2,3)，半径为1.连的直观图比较方便且不易出错)》接AC,BC,PC,PA,PB为圆C的切线，∴.△PAC,其中△ABC,△DBC均为直角三△PBC为全等的直角三角形，记AB和PC交于点D,角形，AC=2,BC=4,DC=√32+5=V34,则SA4Bc=易知IBDI=IADI,要使IABI最小，需IBD1最小，又2x2x4=4,5am=号×V3耳x4=2vg,5mIBDI=IBCI·sin∠BCD=sin∠BCD,.需sin∠BCD2×2×5=5,△ABD中，AD=BD=5V2,AB=最小，：∠B0D为能角需s∠B0D-|BCV4+2-25,则Sn-7×25×3,5-15…三PC最大，即需PC最小，又IPC的最小值为点C到棱锥D-ABC的表面积为S AARC+S△DBc+S△ACD+直线1的距离，为13x2-4x3=41=2,此时32+(-4)2SAARD=24+2√34共领航备考·必会技法ms∠BCD=分，∠BCD=号，BD1=sin∠sCD=2三视图中长度特征是“长对正、宽相等、高平齐”，.IAB|=√3.（利用分析法逐步分析出将求1AB1的最小值转即正视图和俯视图的长对正，侧视图和俯视图的化为求，点C到直线的距离)宽相等，正视图和侧视图的高平齐解法二圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=1,9.B【思维导图】解法一已知一圆C的圆心坐.圆心C的坐标为(2,3)，半径为1.点P在直线标和半径连接AC,BC,PC△PAC,△PBC为全等的直角上，放可设P(m,m-1),则切点弦AB所在直线的三角形元AB和P心交于点D,1BD1=1AD1一要使1ABI最小，需1BD1最小IBD1=m∠BCD方程为(m-2)(x-2)+(子m-1-3)(y-3)=1,需sin∠BCD最小(二级结论：过圆(x-a)2+(y-b)2=2外的一点P(0,y0)作1→需cos∠BCD=PC最大一需1PC1最小圆的两条切线，切，点分别为A,B,则弦AB所在直线的方程为IPC1的最小值为点C到直线l的距离→cos∠BCD=(xo-a)(x-a)+(y。-b)(y-b)=r2)2→|AB|的最小值整理得(x+子-好)m-2x4+15=0,当解法二已知→圆C的圆心坐标和半径3x+104y-4时方程恒成立，解得x=3y13设P(m,子m-0y=5,→切点弦AB所在直线的方程为(m-2x-4y+15=02)(:-2)+(m-1-3)(g-3)-1一直线B过即直线AB过定点E(得号.取AB的中点D,连接文科数学领航卷（七）全国卷答案一61

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21.【解析】1)将M,N的坐标代入椭圆E的方程是+1…2分n-1-号X1X3wE=y9……2分解得2=4，B=1.三、解答恩以【解析水由题意女热样的比创为品=后。…”4分所以圆E的方程为号十少=1.

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13.(12分)光等圆环图定在整直平商内。环上套指两个小球A和B(中央12.(10分)如图，物块A散置于水平桌面上，轻绳

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19.(12分)20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励：当销售利润超过20万元时，若超出A万元，则超出部分按20g(A+5)进行奖励.记奖

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