[海淀八模]2025届高考冲刺卷(二)2数学试题

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16.(1)证明:取PB的中点O,连接OA,OC,BD,因为CB=CP,所以PB⊥OC,1分因为△PAB为等边三角形,所以AO⊥PB,2分3分因为ACC面OAC,所以AC⊥PB,.…·.…4分因为 PD⊥AC,BPNPD=P,BP,PDC面BPD,所以AC⊥面BPD,........·.…5分因为BDC面BPD,所以AC⊥BD,又四边形ABCD是行四边形,所以四边形ABCD为菱形,即AB=BC.·..·6分(2)解:因为面PAB⊥面PBC,且面PAB门面PBC=PB,AO⊥BP,AOC面PAB,所以AO⊥面PBC.7分以O为坐标原点,OC,OP,OA所在直线分别为α,y,轴,建立空间直角坐标系,如图所示,不妨设PB=2.则O(0,0,0),C(√3,0,0),B(0,-1,0),A(0,0,V3),P(0,1,0),可得PC=(√3,-1,0),CD=BA=(0,1,V3),AD=BC=(√3,1,0).[m·AD=√3x+y=0,设面ADC的一个法向量为m=(x,y,z),则(m·CD=y+√3x=0,令x=1,解得y=-√3,=1,所以面ADC的一个法向量为m=(1,-√3,1)....9分{n·PC=√3a-b=0,设面PDC的一个法向量为n=(a,b,c),则(n·CD=b+√3c=0,令α=1,解得b=√3,c=-1,所以面PDC的一个法向量为n=(1,√3,-1)11分设二面角P-DC-A的大小为θ,所以|cosθ|=|cos」=m·n·13分m||n|所以 sin 0=√1-cos²0=,即二面角P-DC-A的正弦值为-15分17.解:(1)由题意知f(x)=e十α1分当a≥0时,f(x)>0,所以f(x)在(一∞,十∞)上单调递增;·3分当a<0时,令f(x)<0,解得x0,解得x>ln(-a),所以f(x)在(一∞o,ln(-a))上单调递减,在(ln(一a),十oo)上单调递增.·.......·5分(2)若f(x)≥3sinx一cosx对任意的x∈[0,十∞o)恒成立,即e十cosx一3sinx一2十ax≥0对Vx∈[0,十∞o)恒成立,令g(x)=e十cosx一3sinx十ax一2,所以g(x)≥0对Vx∈[0,+∞o)恒成立,··6分所以 g'(x)=e-sinx-3cos x十a,令h(x)=e²-sinx—3cos x+a,所以h'(x)=e-cos x+3sinx,当x∈[0,π]时,由于3sinx≥0,e*≥1,-1≤cosx≤1,所以h'(x)≥0,当且仅当x=0时取等号,·8分…·9分所以h(x)=e²一sinx一3cosx十a在区间[0,十oo)上单调递增,即g'(x)在[0,十oo)上单调递增,【高三核心模拟卷(下)·数学(六)参考答案第4页(共6页)】
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