炎德文化数学2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练一答案

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22.【答案】()由题可知，f()=e1+(x>0)①当a≥0时，∫'(x)>0,f(x)在(0，+oo)上单调递增，无极值，不成立；②当a<0时，f'(x)在(0，+oo)上单调递增.由题可知，3∈(1,2)，使得f'()=0，,且x∈(1，x)时，f'(x)<0，,f(x)单调递减；当x∈(x,2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，即x是极小值点，f'(I)=1+a<0所以f'2)=e+g>0,解之得-2e0对x>1恒成立.ig(x)=e*+alnx-(a+1)x+a,则8'()=e+g-(a+》=e1-a+1x+a令p(x)=xe-1-(a+)x+a,则p'(x)=(x+1)e1-(a+1),令u(x)=(x+1)e-1-(a+1),则u'(x)=(x+2)e-1>0,u(x)在(L,+oo)上单调递增，又u(①)=1-a.①当1-a≥0，即a≤1时，u()>0,即p'(x)>0,p)在(1，+o)上单调递增，又p(1)=1-(a+1)+a=0,所以p(x)>0,即g'(x)>0,8(x)在(1，+oo)上单调递增，又8（①）=0，所以当x∈(1，+o)时，g(x)>0恒成立.②当1-a<0,即a>1时，u(1+lna)=(2+lna)a-a-1=a-1+alna>0,1+lna>1,所以由零点存在性定理可知，3x∈(L,1+lna),使得u(x)=0,则当x∈(L,)时，u(x)<0，即p'(x)<0,p(x)在(I,x)上单调递减，又p)=0,所以当x∈(1，x)时，p(x)<0,即g'(x)<0,所以当x∈(L,x)时，g(x)单调递减，又g(①)=0，所以当x∈(1，x)时，g(x)<0,矛盾，不成立综上所述，a的取值范围为(-0,1).…12分方法二：由题得，e--x-a(x-1-lnx)>0对x>1恒成立.记F(x)=e-x-a(x-1-lnx),①当a≤1时，记g(x)=x-1-lnx(x>),所以g'(0=X-1>0,所以g(x)在(L,+w)上单调递增，所以g(x)>g)=0,所以F(x)≥e-1-x-(x-1-lnx),记G(x)=e1-x-(x-1-lnx)=e1-2x+1+lnx,以GC)=e+2,所以G)=e之在C,+o)上E单调递增，且G"()>GD所以G'(x)在(L,+0)上单调递增，则G'(x)>G'()=0,所以G(x)在(1，+o)上单调递增，则G(x)>G(1)=0,所以F(x)≥G(x)>0对x>1恒成立：②当a>1时，F)=e-1a-之，P=-e-是在1o)上单调递增，因为F"④=1-a<0,F"@)=e-1>a-1>0,a所以3x∈(1，a),使得F"(x)=0,且x∈(1，x)时，F"(x)<0,F'(x)单调递减，所以当x∈(1，)时，F'(x)0对x>1恒成立矛盾，综上，≤1.……12分第4页（共4页）

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